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中小学教育资源及组卷应用平台第11讲 非负数及其应用知识方法所谓非负数，是指0和正实数.常见的非负数有绝对值和平方式.非负数有如下的性质：(1) 数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数.(2) 有限个非负数的和仍为非负数，即若a ，a ，…，an为非负数，则((3) 有限个非负数的和为0，那么每一个加数也必为0，即若a ，a ，…，an为非负数，且 则必有 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多.(4) 非负数的积和商(除数不为0)仍为非负数.(5) 最小非负数为0，没有最大的非负数.应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决.其中，配方是一种重要的恒等变形技巧.经典例题解析【例11-1】 已知 求代数式 的值.解 将已知等式变形，得因为 即|y-1|≤0. ①根据绝对值的意义|y-1|≥0. ②由式①、式②得,y—1=0,所以y=1.此时, 所以 =-1.评注(1) 实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数.(2)配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧，由此得到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题.(3)若a≥0，又a≤0，那么a=0.这种方法通常称为夹逼法，这样由不等关系可以得到等量关系.【例11-2】 已知a、b、c 为整数,且 求 的值.解 由 可得 显然又由a、b、c 为整数,得 为整数，于是所以a=2,b=3,c=6.【例11-3】 已知a、b、c 为实数,设 证明：A、B、C中至少有一个值大于0.证明 由题设有3因为( ,所以A+B+C>0.若A≤0,B≤0,C≤0,则A+B+C≤0,与A+B+C>0不符,所以A、B、C 中至少有一个大于 0.【例11-4】 求实数x、y,使得( 达到最小值.解 原式当 时，即 时有最小值【例11-5】 已知a 、b 、p、q(i=1,2,…,2004)是不等于0的实数,且满足:求证：证明 由已知条件变形得①②③式①-式②+式③得故有所以【例11-6】 求所有的有理数x、y、z,使得 =0.解 由已知等式可化为[ )-(2y+2z)+1]=0, ─2(y+z)+1]=0,所以 解得【例11-7】 设x、y、a都是实数,并且|x|=1-a,|y|=(1-a)(a-1-a ).试求|x|+y 的值.解 因为 所以①又由绝对值的意义得|y|≥0. ②既要满足式①又要满足式②，只有y=0，即(因为所以1-a=0,a=1.故【例11-8】 已知a +2a ≥3a ,a +2a ≥3a ,a +2a ≥3a ,…,a +2a ≥3a ,a + 和 求a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 、a 的值.解 将已知的 10个式子整理得，再将上述10个式子的左边相加，其和为0.因为这 10个式子的左边都是非负数，所以这10 个式子的左边都等于0.即;所以 09 / 02 /于是同理可证;( 所以根据题设 可得强化训练一、选择题1.已知a、b、c 都是负数,并且| ,则 xyz是( ).(A)负数 (B) 非负数 (C) 正数 (D) 非正数2.已知实数a、b满足条件( 则( ).或或3.已知 则 的值等于( ).(A) -1 (B) 0 (C)1 (D) 24. a、b、c、d都是正数,则在以下命题中,错误的是( ).(A) 若 ,则a=b=c(B) 若 则a=b=c(C) 若 ,则a=b=c=d(D) 若 则a=b=c=d5.已知a、b、c 是实数, 则下列说法正确的是( ).(A)x、y、z三个数中至少有一个是0(B)x、y、z三个数中至少有一个是正数(C)x、y、z三个数中至少有一个是负数(D)x、y、z三个数中必为两正一负，或者必为两负一正二、填空题6.已知 那么，代数式 的值为 .7. 满足方程 的实数解(x，y)的个数等于 .8.已知a、b满足, ,则a+b= .9.实数 x、y 满足x≥y≥1和 则x+y= .10.已知实数a、b、c 满足 则b/a的值等于三、解答题11.如果三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c,求m 的最大值和最小值.12.设z、y、z 为实数,且( - 求 的值.13.设a、b、c都是正实数,p、q、r都是实数,p、q、r满足何种关系时,等式 成立 14. 解关于实数x、y、z的方程:15. 已 知x , x ,…, xn为实数，且 求证:.一、选择题1.【答案】A.2.【答案】B.【解析】因为 所以 即( ,故有 所以a=±1.所以 或3.【答案】B.【解析】由已知得 2=0,即 m=-1,n=1.于是4.【答案】C.【解析】对于命题(A) ，由已知等式得 所以a=b=c,故(A)为真.对于命题((B), 由题设条件 =3abc,有 ，所以a=b=c,故(B)为真.对于命题(D)，由已知等式得 即 所以a=b=c=d.对于命题(C) ，由已知等式得 故有 0,所以a=b,c=d.原结论为a=b=c=d,所以,(C)为错误的命题.5.【答案】B.【解析】 所以x、y、z中至少有一个是正数.二、填空题6.【答案】【解析】因为所以9a-8=0,8a+9b=0.所以所以 7.【答案】1.【解析】因为所以=0.即从而 解得8.【答案】2.【解析】由 得①由 得②式①+式②,得而所以a+b-2=0,即a+b=2.9.【答案】4.【解析】由题设等式，知 x(x-1),从而 即 所以x=2.代入已知等式,得y=2,所以x+y=4.10.【答案【解析】由a-b+c=7,得a=7+b-c,代入得整理，得(于是b=-4,c=0,从而a=7+b-c=7+(-4)-0=3,所以三、解答题11.【答案】最大值为 最小值为【解析】由已知条件可得a=7c-3≥0,b=7-11c≥0,c≥0.于是m=3a+b--7c=3c-2,当 时，m有最大值 当 时，m有最小值12.【答案】1.【解析】将已知等式化简成 2xy-2xz-2yz=0,所以(所以x=y=z,故原式的值为1.13.【答案】p=q=r.【解析】将 两边展开，消去相同的项，得+2acpr+2bcqr,即因a、b、c 都是正实数,p、q、r都是实数,所以从而p--q=q-r=r-p=0, p=q=r.也就是说,只有p=q=r时,才有(a+b+c)成立.14.【答案】x=3,y=-2或【解析】原方程即为 由非负数的性质，有x--3=0, ①②③将x=3代入式②、式③时,可得(z-2)(z+6)=0,所以z=2或z=-6.当z=2时,y=-2-;当z=-6时,方程实根.15.【答案】证明:设则因为即所以即从而故(又x ,x ,…,x 为实数，则 s— xn为实数.于是 即
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